Đường Trung Trực Là Gì? Cách Nhận Biết Và Ứng Dụng

[MỤC LỤC] 1. Đường trung trực là gì? 2. Cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng 3. Tính chất của đường trung trực 4. Ứng dụng của đường trung trực 5. Các bài toán điển hình có sử dụng đường trung trực

Trong hình học phẳng, khái niệm “đường trung trực” là một kiến thức nền tảng, thường gặp trong các bài toán liên quan đến tam giác, đường tròn và các bài tập dựng hình cơ bản. Tuy quen thuộc, nhưng không phải ai cũng nắm rõ khái niệm, cách vẽ chuẩn, tính chất đặc trưng cũng như các ứng dụng thực tế của đường trung trực.

Hãy cùng tìm hiểu đầy đủ và chi tiết về đường trung trực qua bài viết dưới đây!

1. Đường trung trực là gì?

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Định nghĩa chính xác:
Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Ký hiệu:
Nếu đoạn thẳng là AB, trung điểm là M thì đường trung trực là đường thẳng d sao cho:
  d ⊥ AB tại M

Hình ảnh minh họa:
Hãy tưởng tượng bạn chia đôi một đoạn dây thành hai phần bằng nhau, rồi dựng một que thẳng đứng chính giữa điểm chia đôi đó. Que đó chính là “đường trung trực”.

Học sinh trong giờ toán

2. Cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Vẽ đường trung trực là gì - một kỹ năng thường dùng trong các bài tập hình học lớp 7. Bạn có thể vẽ bằng nhiều cách, tuy nhiên phương pháp phổ biến nhất là sử dụng thước kẻ và compa. Dưới đây là các bước chi tiết:

Dụng cụ cần chuẩn bị:
Thước thẳng

Compa

Bút chì, bút bi

Các bước vẽ đường trung trực đoạn AB:
Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB bất kỳ
Sử dụng thước kẻ, nối hai điểm A và B bằng một đoạn thẳng.

Bước 2: Đặt compa tại điểm A, vẽ một cung tròn
Mở compa rộng hơn nửa đoạn AB một chút.

Đặt mũi nhọn compa tại điểm A, vẽ một cung tròn phía trên và dưới đoạn thẳng.

Bước 3: Đặt compa tại điểm B, vẽ cung tương tự
Không thay đổi độ mở compa.

Đặt mũi compa tại điểm B, vẽ hai cung cắt hai cung trước đó.

Bước 4: Nối hai điểm cắt nhau
Gọi hai điểm giao nhau là P và Q.

Dùng thước nối P và Q ta được đường trung trực của AB.

Lưu ý khi vẽ:
Hai cung tròn phải giao nhau ở cả phía trên và phía dưới đoạn thẳng.

Đường trung trực phải vuông góc và đi qua trung điểm của AB.

Đường trung trực tam giác

3. Tính chất của đường trung trực

Đường trung trực không chỉ đơn giản là một đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng. Nó còn mang nhiều tính chất hình học rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài toán chứng minh.

Tính chất 1:
Mỗi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB cách đều hai điểm A và B.

Nói cách khác: Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn AB → MA = MB.

Tính chất 2:
Ngược lại, nếu một điểm nằm trong mặt phẳng và cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng, thì điểm đó nằm trên đường trung trực là gì.

Nếu MA = MB → M thuộc đường trung trực của AB.

Tính chất 3:
Trong tam giác, giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tức là từ giao điểm đó đến ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau.

Tính chất 4:
Đường trung trực là gì không phụ thuộc vào vị trí đoạn thẳng – chỉ cần có trung điểm và vuông góc là đủ.

4. Ứng dụng của đường trung trực

Kiến thức về đường trung trực không chỉ được sử dụng trong học tập mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong kỹ thuật, kiến trúc, thiết kế và công nghệ.

Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác
Nhờ tính chất các điểm trên đường trung trực cách đều hai đỉnh, ta có thể tìm tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác bằng cách dựng 3 đường trung trực của 3 cạnh.

Giao điểm của chúng chính là tâm của đường tròn đi qua 3 đỉnh.

Giải bài toán hình học phẳng
Trong các bài toán liên quan đến tam giác cân, đối xứng trục, khoảng cách bằng nhau,… đường trung trực là yếu tố quan trọng để suy luận hoặc chứng minh.

Ví dụ:
Trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của BC cũng là trục đối xứng của tam giác.

Ứng dụng trong thiết kế kỹ thuật
Khi thiết kế các chi tiết máy cần sự đối xứng tuyệt đối, người ta sử dụng nguyên lý đường trung trực để chia đôi và định vị chính xác các lỗ, trục hoặc phần ghép nối.

Dùng trong khảo sát vị trí địa lý
Trong một số bài toán thực tế (ví dụ chọn vị trí xây trường học, nhà văn hóa), người ta sử dụng tính chất “cách đều 2 điểm” của đường trung trực để chọn vị trí trung tâm tối ưu.

Ứng dụng trong trò chơi dân gian hoặc thể thao
Trong trò chơi như cờ caro, bắn cung,… người chơi thường phải xác định vị trí giữa hai điểm – chính là ứng dụng trực tiếp đường trung trực là gì.

 

Ứng dụng của đường trung trực

5. Các bài toán điển hình có sử dụng đường trung trực

Bài 1: Chứng minh một điểm nằm trên đường trung trực
Cho đoạn AB, điểm M sao cho MA = MB. Chứng minh rằng M nằm trên đường trung trực của AB.

Cách làm:

Kẻ đường trung trực của AB

Theo định nghĩa: các điểm cách đều A và B nằm trên đường trung trực
→ M thuộc đường trung trực của AB.

Bài 2: Dựng tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp
Dựng tam giác ABC sao cho biết ba cạnh, hãy tìm tâm đường tròn ngoại tiếp.

Cách làm:

Dựng đường trung trực của AB

Dựng đường trung trực của AC

Giao điểm 2 đường là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Mẹo học thuộc nhanh kiến thức đường trung trực
Định nghĩa: Đường – trung điểm – vuông góc → đường trung trực.

Tính chất: Nằm trên → cách đều. Cách đều → nằm trên.

Ứng dụng: Tâm đường tròn ngoại tiếp = giao điểm 3 đường trung trực.

Cách vẽ: Compa – cung – giao – nối = xong.

Đường trung trực là gì - một kiến thức hình học cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, vừa giúp học sinh phát triển tư duy logic, vừa có nhiều ứng dụng thực tiễn. Việc nắm rõ định nghĩa đường trung trực là gì, thành thạo cách vẽ, hiểu tính chất và ứng dụng sẽ giúp bạn xử lý nhanh các bài toán hình học trong chương trình phổ thông và vượt qua nhiều dạng đề thi khác nhau.