Đường trung trực là gì? Các dạng bài tập và ví dụ minh họa dễ hiểu

Trong hình học, khái niệm đường trung trực là gì luôn được nhiều học sinh quan tâm khi học về các tính chất của tam giác và đoạn thẳng. Hiểu rõ đường trung trực là gì giúp chúng ta dễ dàng giải các bài toán dựng hình, chứng minh hình học và ứng dụng trong thực tiễn.
Đường trung trực là gì​

1.Đường trung trực là gì?

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
Nói cách khác, đường trung trực vừa đi qua trung điểm của đoạn thẳng, vừa vuông góc với đoạn thẳng, chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

đường trung trực

2.Có bao nhiêu đường trung trực trong một tam giác?

Trong một tam giác, có ba đường trung trực, mỗi đường ứng với một cạnh của tam giác.
Cụ thể, mỗi cạnh của tam giác sẽ có một đường trung trực là đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của nó. Ba đường trung trực này đồng quy tại một điểm duy nhất gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Điểm đồng quy này là tâm của đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác, còn gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác.

3.Các đường trung trực của tam giác cắt nhau tại đâu?

Ba đường trung trực của một tam giác cắt nhau tại một điểm duy nhất, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm cách đều cả ba đỉnh của tam giác. Nói cách khác, đó là tâm của đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Điểm đồng quy của ba đường trung trực có thể nằm bên trong tam giác, bên ngoài hoặc trên cạnh của tam giác, tùy thuộc vào loại tam giác:
Nếu tam giác nhọn, điểm đồng quy nằm bên trong.
Nếu tam giác vuông, điểm đồng quy trùng với trung điểm của cạnh huyền.
Nếu tam giác tù, điểm đồng quy nằm bên ngoài tam giác.

Ba đường trung trực của một tam giác cắt nhau tại một điểm duy nhất

4.Các dạng bài tập và ví dụ minh họa đường trung trực

Dạng 1: Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng
 Ví dụ 1: Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB biết AB = 8 cm.
 Lời giải:
 Bước 1: Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. Ta có AM = MB = 4 cm.
 Bước 2: Dựng đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB.
 Đường thẳng này chính là đường trung trực của đoạn AB.
Dạng 2: Chứng minh một điểm nằm trên đường trung trực
 Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB, điểm O sao cho OA = OB. Chứng minh O nằm trên đường trung trực của AB.
 Lời giải:
 Vì OA = OB nên O cách đều hai đầu mút A và B. Theo tính chất, tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng chính là đường trung trực. Vậy O nằm trên đường trung trực của AB.
Dạng 3: Xác định giao điểm các đường trung trực trong tam giác
 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại điểm O. Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác.
 Lời giải:
 Theo định nghĩa, ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm này cách đều ba đỉnh, tức là OA = OB = OC. Vậy O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
Dạng 4: Dựng tam giác biết một cạnh và hai đường trung trực
 Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng AB cố định. Dựng tam giác ABC biết đường trung trực của AC và BC.
 Lời giải:
 Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB.
 Bước 2: Vẽ hai đường trung trực đã cho.
 Bước 3: Giao điểm của hai đường trung trực là đỉnh C.
 Nối A với C và B với C, ta được tam giác ABC.

Các dạng bài tập

5.Ứng dụng của đường trung trực trong thực tế là gì?

Đường trung trực là một khái niệm hình học cơ bản nhưng lại có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống, học tập và các ngành kỹ thuật. Dưới đây là một số ứng dụng tiêu biểu của đường trung trực trong thực tế:
Thứ nhất, trong xây dựng và thiết kế, đường trung trực thường được dùng để xác định vị trí cân đối và chia đôi các đoạn thẳng hoặc khoảng cách. Khi thiết kế nhà cửa, nội thất, cầu đường… việc tìm ra vị trí trung điểm và đường vuông góc tại trung điểm (chính là đường trung trực) giúp đảm bảo tính đối xứng, cân bằng về thẩm mỹ và kỹ thuật. Ví dụ, khi muốn đặt một trụ đèn ở giữa hai cột, hay thiết kế cổng chính sao cho cân đối với hai bên nhà, người ta sử dụng đường trung trực để xác định vị trí chính giữa một cách chính xác.
Thứ hai, trong ngành cơ khí và kỹ thuật, đường trung trực giúp xác định chính xác vị trí tâm của một chi tiết máy để tiện, phay, khoan hoặc lắp ráp. Việc xác định đường trung trực giúp các bộ phận được cân bằng, vận hành ổn định, giảm thiểu rung lắc và sai số. Trong chế tạo bánh răng, trục, hoặc lắp ráp các bộ phận đối xứng, đường trung trực giúp đảm bảo chất lượng và hiệu quả.
Thứ ba, trong giao thông và quy hoạch đô thị, đường trung trực cũng xuất hiện trong thiết kế trục đường chính, vòng xuyến, nút giao thông sao cho cân đối với các tuyến đường nhánh. Điều này không chỉ đảm bảo mỹ quan mà còn giúp giao thông lưu thông thuận tiện, giảm ùn tắc.
Thứ tư, trong toán học và giáo dục, đường trung trực được dùng trong rất nhiều bài toán thực hành như dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác, xác định tập hợp các điểm cách đều hai điểm cho trước, chia đôi đoạn thẳng… Những bài toán này không chỉ rèn luyện kỹ năng tư duy mà còn phục vụ trong đo đạc, trắc địa và khảo sát mặt bằng.
Với đặc tính chia đôi và vuông góc, đường trung trực là một công cụ quan trọng, được ứng dụng rộng rãi từ lý thuyết toán học đến thực tiễn đời sống và sản xuất. Việc hiểu rõ và vận dụng linh hoạt đường trung trực giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán kỹ thuật và thiết kế một cách hiệu quả và chính xác.
Qua bài viết trên chúng ta đã hiểu rõ đường trung trực là gì và nắm được những tính chất quan trọng của nó. Việc vận dụng đúng khái niệm đường trung trực là gì sẽ giúp giải quyết hiệu quả các bài toán hình học, đồng thời thấy được ứng dụng thực tiễn của kiến thức này trong cuộc sống.